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Modélisation stochastique et simulation

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De nombreux phénomènes en physique et mécanique mettent en jeu une excitation aléatoire (vent, turbulence, houle, séisme) dont il importe de connaître les effets extrêmes sur les systèmes sollicités. On est alors conduit à des problèmes de dynamique stochastique dont la résolution requiert très souvent l’utilisation de méthodes de Monte-Carlo impliquant la simulation de trajectoires de l’excitation. Les progrès réalisés dans le domaine des calculateurs permettent aujourd’hui d’utiliser ces méthodes en contexte industriel. La validité des résultats repose alors essentiellement sur la qualité et la représentativité des simulations numériques.                              
Cette formation vous permettra d’apprendre à modéliser un phénomène aléatoire par un processus stochastique et à le simuler numériquement grâce aux techniques les plus récentes. Les dernières avancées sur l'évaluation de probabilités d'événement rares (i.e. franchissements de seuils élevés) liés aux extrema des processus vous seront également présentées.

  • Dates :14/03/2017
  • Durée :3 jours
  • Lieu :Ecole polytechnique
  • Tarif :1 890 € HT
  • Langue :Français

Objectifs

  1. Panorama des méthodes de simulation numérique de variables aléatoires
  2. Représentation de Karhunen-Loève des processus et modélisation des phénomènes aléatoires
  3. Notions de processus et champs stochastiques
  4. Équations différentielles stochastiques et discrétisation
  5. Comment simuler les processus gaussiens et non gaussiens, stationnaires et non stationnaires ?
  6. Statistiques sur les trajectoires de processus non gaussiens : calculs des nombres moyens de franchissements de niveaux ainsi que du nombre moyen de maximums locaux
  7. Estimation de probabilités d'événements rares liés aux extrema de processus en horizon fini

Programme

Simulation des variables aléatoires (v.a.)

  • Rappels de probabilités
  • Principaux algorithmes de simulation de v.a. scalaires et vectorielles

Modélisation par variables aléatoires

  • Le problème des moments
  • Modélisation par le principe du maximum d'entropie
  • Modélisation de la dépendance par les copules et simulation
  • Estimation non paramétrique des lois par noyaux gaussiens et simulation

Notions de processus et champs stochastiques

  • Processus et champs stochastiques du second ordre
  • Développement de Karhunen-Loève des processus et champs stochastiques du second ordre
  • Processus et champs gaussiens
  • Processus et champs stationnaires
  • Processus de Markov
  • Représentation markovienne des processus gaussiens stationnaires
  • Equations différentielles stochastiques (EDS)
  • Quelques schémas numériques pour les EDS

Simulation des processus et champs gaussiens vectoriels

  • Cas stationnaire : algorithmes de simulation basés sur les représentations 1) spectrale, 2) de Karhunen-Loève, 3) markovienne (pour les processus uniquement)
  • Cas non stationnaire : algorithmes de simulation basés sur les représentations 1) intégrale, 2) de Karhunen-Loève

Simulation des processus et champs non gaussiens vectoriels

  • Cas stationnaire : algorithme basé sur une représentation par projection sur une base de chaos polynomiaux
  • Cas non stationnaire : algorithme basé sur une représentation de Karhunen-Loève

Extrêmes des processus non gaussiens non stationnaires

  • Approche générale basée sur l'emploi de la série de Rice
  • Approche par une méthode innovante récente basée sur le couplage "représentation de Karhunen-Loève / Formule de Rice"
  • • Approche originale récente basée sur l'emploi d'une technique d'interpolation-extrapolation

Applications

Plusieurs applications illustreront cette formation, concernant plus particulièrement :
1) la modélisation de la houle, des séismes et du vent (du vent de rafale notamment),
2) le calcul de quantiles de lois de valeurs extrêmes associées à une large gamme de processus non gaussiens non stationnaires, et notamment de probabilités d'événements rares liés à de tels processus.

Méthode pédagogique :

Formation et exemples détaillés didactiques à partir de programmes Matlab ou Scilab

Intervenants

  1. Responsable scientifique
    Fabrice
    Maître de Recherches, HDR, à l'ONERA
  1. Intervenant(s)
    Michel
    Professeur, Université Blaise Pascal de Clermont
  2. Intervenant(s)
    Frédéric
    Chargé de recherche - Pilote du Pôle de compétences et d'innovation ISD2 (l'Infrastructure au service de la Sécurité des Déplacements en Situations Dégradées)

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