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Problèmes inverses, algorithmes et applications

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Problèmes inverses, algorithmes et applications

Un problème inverse consiste en général à déterminer certains paramètres (géométrie d’un défaut, propriétés physiques d’un matériau, distribution de tailles d’un échantillon, etc) à partir de certaines mesures (état du système, mesures d’ondes diffractées par le milieu, etc). Ce type de problème se rencontre dans nombre d’applications : traitement d’images, imagerie bio-médicale, contrôle non destructif, imagerie radar et sonar, etc.
L’une des caractéristiques principales de ces problèmes est leur grande sensibilité au bruit de mesures : on parle de problèmes mal posés. Ils nécessitent le plus souvent une régularisation bien choisie pour garantir une certaine stabilité du résultat. Leur formulation classique en tant que problème de minimisation d’une fonctionnelle d’attache aux données souffre en général de la non convexité de la fonctionnelle et la multiplicité des minima locaux. Pour certaines applications en imagerie, le besoin d’un résultat en temps réel rend les méthodes d’optimisation inapplicables et amène à repenser/simplifier la modélisation et le schéma d’inversion.

  • Dates :11 et 12 décembre 2019
  • Durée :2 jours
  • Lieu :Ecole Polytechnique Executive Education
  • Tarif :1 600 € HT
  • Langue :Français
  • Code :AIM

Objectifs

  1. Introduction aux problèmes inverses mal posés.
  2. Dresser un panorama des méthodes de régularisation et étudier plus spécifiquement les méthodes de régularisation variationnelle.
  3. Introduction aux méthodes d’optimisations non linéaires et leurs adaptations/applications aux problèmes inverses.
  4. Focus sur les méthodes topologiques d’optimisation de forme et leurs applications dans certains problèmes d’imagerie.
  5. Focus sur les méthodes de sampling pour les problèmes de diffraction inverse.
  6. Introduction aux aspects HPC à travers le traitement d’un cas industriel

Programme

- JOUR 1 -

9h – 10h30 : Introduction aux problèmes inverses mal posés (H. Haddar)

 · Problème inverse bien posé, mal posé, unicité, stabilité

  •      Comment reconnaitre le caractère mal posé d’un problème inverse
  •      Traduction en terme numérique (svd, conditionnement)

 · Quelques exemples applications

  • Traitement d’image
  • Imagerie par les ondes
  • Tomographie
  • Contrôle non destructif de structure

 · Méthodes de régularisation pour les problèmes inverses linéaires

  • Définition d’une stratégie de régularisation
  • Panorama des différentes méthodes de régularisation
  • Focus sur les méthodes variationnelles
  • Etude comparative sur quelques exemples

Pause

10h45 – 12h15 : Méthodes d’inversion non linéaires (H. Haddar)

 · Méthodes de Newton et Quasi Newton

  • Principe et difficultés
  • Différentes variates des méthodes de Quasi Newton

 · Méthodes de Gradient et état adjoint

  • Principe général
  • Avantage numérique via l’utilisation de l’état adjoint

 · Exemple d’application en imagerie par impédance électrique
 · Variantes des fonctionnelles attache aux données

  • Fonctionnelle d’énergie de type Khon-Vogelius
  • Distance de Wasserstein

Repas

13h45 – 15h15 : Problèmes inverses géométriques (H. Haddar)

  · Notion de dérivée de forme et exemples

  • Dérivée Lagrangienne et dérivée eulérienne
  • Formules toutes faites
  • Calcul du gradient de forme pour quelques fonctionnelles coût

  · Méthodes numériques de variation de frontière
  · Méthodes de type Level-Set
Pause

15h30 – 17h : Méthodes d’inversion non linéaires concurrentes (H. Haddar)

 · Méthodes déterministes versus méthodes stochastiques
 · Méthodes bayesiennes
 · Différentiation automatique
 · Inversion par réseaux de neurones

- JOUR 2 -

9h – 10h30 : Gradient topologique (M. Bonnet)

 · Concept et motivation, pertinence pour l'inversion et l'optimisation topologique, bref historique
 · Formulation par analyse asymptotique:

  • Perturbation de solutions d'EDP (ondes, élasticité...) induite par une perturbation locale de géométrie ou matériau
  • Lien avec le problème de l'inclusion d'Eshelby en mécanique
  • Calcul du gradient de forme pour quelques fonctionnelles coût

 · Expression de la perturbation induite de fonctions objectif

  • Formulation pratique au moyen d'un état adjoint
  • Calcul numérique du gradient topologique

Pause

10h45 – 12h15 : Méthodes gradient topologique suite (M. Bonnet)

 · Application à l'identification qualitative de défauts:

  • Heuristique, résultats de justification mathématique, conditions favorables d’application
  • llustrations numériques

 · Cas particulier des petits défauts émergeant à la surface
 · Développement topologique d'ordre élevé:

  • Formulation
  • Application à l’identification

 · Optimisation topologique: algorithme basé sur le gradient topologique
Repas

13h45 – 15h15 : Méthodes pour le problème de diffraction inverse (H. Haddar)

 · Problématique de l’imagerie par les ondes

  • Principe et exemples
  • Mesures mono statiques et multi statiques

 · Méthodes d’inversion basées sur la linéarisation

  • Reverse time migration
  • Retournement temporel
  • Méthodes SAR
  • Quantification de la résolution

 · Méthodes de type sampling

  • Principe et variantes
  • Lien avec les méthodes de linéarisation

 · Exemples d’applications
Pause

15h30 – 17h : Un exemple d’application industrielle (L. Audibert)

 · Contrôle non destructif par courant de Foucault
 · Méthodes de gradient et état adjoint
 · Application de la méthode Level-Set
 · Aspects HPC du traitement du problème inverse

  • Accélération de la prise en compte de plusieurs second membres
  • Optimisation de la paramétrisation Level Set
  • Aspects parallélisation
  1. Titre: 
    Public concerné
    Texte: 

    Directeurs Techniques, Responsables de programmes, Chefs de projets, Architectes systèmes, Ingénieurs Recherche, Ingénieurs d'Etude, Ingénieurs Brevet, Ingénieurs Calcul - BE – Simulation, Doctorants dans les secteurs de l’automobile, l’aérospatial, des transports, de l’environnement et particules, géophysique, recherche pétrolière, contrôle médical

  2. Titre: 
    Prérequis
    Texte: 

    Le cours s’adresse à un public large ayant des connaissances de base en algèbre linéaire.

    Il sera plus facile d’accès à un public familier avec les méthodes numériques pour la résolution d’équations aux dérivées partielles.

  3. Titre: 
    Compétences acquises à l'issue de la formation
    Texte: 

    A la fin de cette formation les participants :
         • auront identifié les spécificités des problèmes inverses
         • auront expérimenté certaines méthodes de régularisation sur des exemples linéaires simples
         • sauront dresser/discuter les avantages et inconvénients d’un inventaire large de méthodes d’inversions concurrentes utilisées dans la pratique
         • auront un bagage suffisant pour concevoir les contours d’une solution à un problème inverse géométrique

Intervenants

  1. Responsable scientifique
    Houssem
    Directeur de recherche INRIA, Responsable scientifique de l'équipe projet INRIA DEFI (Détermination de Formes et identification)
  1. Intervenant(s)
    Houssem
    Directeur de recherche INRIA, Responsable scientifique de l'équipe projet INRIA DEFI (Détermination de Formes et identification)
  2. Intervenant(s)
    Marc
    Directeur de recherche CNRS, Poems, ENSTA
  3. Intervenant(s)
    Lorenzo
    Ingénieur, EDF R&D, PRISME Chatou

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